愛媛大学
2015年 理学部・工学部 第3問
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$a$を実数とし,数列$\{a_n\}$および$\{b_n\}$を
\[ \begin{array}{ll}
a_1=a, & a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
a_n+1 & (n \text{が奇数のとき}) \\
2a_n & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \\
b_1=a, & b_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
2b_n & (n \text{が奇数のとき}) \\
b_n+1 & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \phantom{\frac{\frac{\fbox{}^{\fbox{}}}{2}}{2}}
\end{array} \]
で定める.
(1) $a_2,\ a_3,\ a_4$,および$b_2,\ b_3,\ b_4$を求めよ.
(2) 数列$\{c_n\}$を$c_n=a_{2n}$で定める.$\{c_n\}$の一般項を求めよ.
(3) 数列$\{S_n\},\ \{T_n\}$,および$\{U_n\}$をそれぞれ \[ S_n=\sum_{k=1}^{2n}a_k,\quad T_n=\sum_{k=1}^{2n}b_k,\quad U_n=S_n-T_n \] で定める.
(ⅰ) $\{S_n\}$の一般項を求めよ.
(ⅱ) $a=1$のとき,$\{U_n\}$の一般項を求めよ.
(1) $a_2,\ a_3,\ a_4$,および$b_2,\ b_3,\ b_4$を求めよ.
(2) 数列$\{c_n\}$を$c_n=a_{2n}$で定める.$\{c_n\}$の一般項を求めよ.
(3) 数列$\{S_n\},\ \{T_n\}$,および$\{U_n\}$をそれぞれ \[ S_n=\sum_{k=1}^{2n}a_k,\quad T_n=\sum_{k=1}^{2n}b_k,\quad U_n=S_n-T_n \] で定める.
(ⅰ) $\{S_n\}$の一般項を求めよ.
(ⅱ) $a=1$のとき,$\{U_n\}$の一般項を求めよ.
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