旭川医科大学
2014年 医学部 第4問
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![一列に並んだ3つの部屋A,B,Cがあり,2頭の象がいる.2頭の象は毎日1つの部屋から隣の部屋に,次のルールに従って移動する.0<p<1とし,象が部屋Aと部屋Bにいるとき,部屋Aにいる象は部屋Aに留まり,部屋Bにいる象が確率pで部屋Cに移る.象が部屋Bと部屋Cにいるとき,部屋Cにいる象は部屋Cに留まり,部屋Bにいる象が確率1-pで部屋Aに移る.象が部屋Aと部屋Cにいるとき,部屋Aにいる象が確率pで部屋Bに移り,移らない場合は部屋Cにいる象が部屋Bに移る.2頭の象が同時に同じ部屋にいることはできない.はじめに2頭の象はそれぞれ部屋Aと部屋Bにいるものとし,2n日後に象が部屋Aにいる確率をa_n(n=1,2,・・・)とおく.このとき,次の問いに答えよ.(1)a_1を求めよ.(2)a_{n+1}をa_nを用いて表せ.(3)p=2/3のとき,a_nを求めよ.](./thumb/1/1/2014_4.png)
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一列に並んだ$3$つの部屋$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$があり,$2$頭の象がいる.$2$頭の象は毎日$1$つの部屋から隣の部屋に,次のルールに従って移動する.
$0<p<1$とし,象が部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{B}$にいるとき,部屋$\mathrm{A}$にいる象は部屋$\mathrm{A}$に留まり,部屋$\mathrm{B}$にいる象が確率$p$で部屋$\mathrm{C}$に移る.象が部屋$\mathrm{B}$と部屋$\mathrm{C}$にいるとき,部屋$\mathrm{C}$にいる象は部屋$\mathrm{C}$に留まり,部屋$\mathrm{B}$にいる象が確率$1-p$で部屋$\mathrm{A}$に移る.象が部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{C}$にいるとき,部屋$\mathrm{A}$にいる象が確率$p$で部屋$\mathrm{B}$に移り,移らない場合は部屋$\mathrm{C}$にいる象が部屋$\mathrm{B}$に移る.$2$頭の象が同時に同じ部屋にいることはできない.
はじめに$2$頭の象はそれぞれ部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{B}$にいるものとし,$2n$日後に象が部屋$\mathrm{A}$にいる確率を$a_n \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $a_1$を求めよ.
(2) $a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle p=\frac{2}{3}$のとき,$a_n$を求めよ.
$0<p<1$とし,象が部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{B}$にいるとき,部屋$\mathrm{A}$にいる象は部屋$\mathrm{A}$に留まり,部屋$\mathrm{B}$にいる象が確率$p$で部屋$\mathrm{C}$に移る.象が部屋$\mathrm{B}$と部屋$\mathrm{C}$にいるとき,部屋$\mathrm{C}$にいる象は部屋$\mathrm{C}$に留まり,部屋$\mathrm{B}$にいる象が確率$1-p$で部屋$\mathrm{A}$に移る.象が部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{C}$にいるとき,部屋$\mathrm{A}$にいる象が確率$p$で部屋$\mathrm{B}$に移り,移らない場合は部屋$\mathrm{C}$にいる象が部屋$\mathrm{B}$に移る.$2$頭の象が同時に同じ部屋にいることはできない.
はじめに$2$頭の象はそれぞれ部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{B}$にいるものとし,$2n$日後に象が部屋$\mathrm{A}$にいる確率を$a_n \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $a_1$を求めよ.
(2) $a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle p=\frac{2}{3}$のとき,$a_n$を求めよ.
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