茨城大学
2012年 理学部 第3問
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数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\frac{1}{n!}\int_0^1 t^ne^{-t} \, dt \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定義する．ただし，$e$は自然対数の底とする．次の各問に答えよ．
(1) $a_1$を求めよ．
(2) $0 \leqq t \leqq 1$のとき$t^n \leqq t$であることを用いて$\displaystyle a_n \leqq \frac{a_1}{n!} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(3) 極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(4) $\displaystyle a_{n+1}=a_n-\frac{1}{e(n+1)!} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(5) 極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right)$を求めよ．
(1) $a_1$を求めよ．
(2) $0 \leqq t \leqq 1$のとき$t^n \leqq t$であることを用いて$\displaystyle a_n \leqq \frac{a_1}{n!} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(3) 極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(4) $\displaystyle a_{n+1}=a_n-\frac{1}{e(n+1)!} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(5) 極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right)$を求めよ．
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