茨城大学
2012年 理学部 第2問
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すべての実数$t$に対して関数$f(t),\ g(t)$を$f(t)=e^t-e^{-t},\ g(t)=e^t+e^{-t}$と定義する．ただし，$e$は自然対数の底とする．次の各問に答えよ．
(1) すべての$t$に対して$g(t) \geqq 2$であることを示せ．
(2) $f(t)$は単調増加であることを示せ．
(3) $x=f(t),\ s=e^t$とするとき，$s$を$x$を用いて表せ．
(4) $x=f(t)$の逆関数$t=f^{-1}(x)$を求めよ．
(5) 不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} \, dx$を$x=f(t)$と置換積分して求めよ． 座標平面上で$t$を媒介変数とする曲線$x=f(t),\ y=g(t)$を考える．この曲線を，媒介変数$t$を消去して$x,\ y$に関する方程式で表せ．
(1) すべての$t$に対して$g(t) \geqq 2$であることを示せ．
(2) $f(t)$は単調増加であることを示せ．
(3) $x=f(t),\ s=e^t$とするとき，$s$を$x$を用いて表せ．
(4) $x=f(t)$の逆関数$t=f^{-1}(x)$を求めよ．
(5) 不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} \, dx$を$x=f(t)$と置換積分して求めよ． 座標平面上で$t$を媒介変数とする曲線$x=f(t),\ y=g(t)$を考える．この曲線を，媒介変数$t$を消去して$x,\ y$に関する方程式で表せ．
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