茨城大学
2012年 理学部 第1問
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数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1}-\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \right\} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定義する．次の各問に答えよ．
(1) $a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$を求めよ．
(2) すべての自然数$n$に対して，次の漸化式が成り立つように実数$p,\ q$を定めよ． \[ a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n \]
(3) $a_n$が奇数なら$a_{n+3}$も奇数となり，$a_n$が偶数なら$a_{n+3}$も偶数となることを示せ．
(1) $a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$を求めよ．
(2) すべての自然数$n$に対して，次の漸化式が成り立つように実数$p,\ q$を定めよ． \[ a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n \]
(3) $a_n$が奇数なら$a_{n+3}$も奇数となり，$a_n$が偶数なら$a_{n+3}$も偶数となることを示せ．
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