茨城大学
2010年 理学部 第1問
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以下の各問に答えよ．
(1) 平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{AE}$と対角線$\mathrm{BD}$との交点を$\mathrm{F}$，直線$\mathrm{AE}$と直線$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$を$\overrightarrow{a}$で，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{b}$で表すとき，$3$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AE}},\ \overrightarrow{\mathrm{AF}},\ \overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2) 関数$g(x)$を次式で定める． \[ g(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \{ x \cos t+(1-x) \sin t \}^2 \, dt \] このとき，$g(x)$の最小値を求めよ．
(1) 平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{AE}$と対角線$\mathrm{BD}$との交点を$\mathrm{F}$，直線$\mathrm{AE}$と直線$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$を$\overrightarrow{a}$で，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{b}$で表すとき，$3$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AE}},\ \overrightarrow{\mathrm{AF}},\ \overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2) 関数$g(x)$を次式で定める． \[ g(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \{ x \cos t+(1-x) \sin t \}^2 \, dt \] このとき，$g(x)$の最小値を求めよ．
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