茨城大学
2010年 工学部 第1問
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以下の各問に答えよ．
(1) $n$を$3$以上の自然数とする．整式$x^n$を$x^2-4x+3$で割ったときの余りを求めよ．
(2) 数列 \[ 1,\quad 1+3+1,\quad 1+3+9+3+1,\quad 1+3+9+27+9+3+1,\quad \cdots \] の第$n$項から第$2n$項までの和を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．
(3) 微分可能な関数$f(x)$が$f(0)=0$かつ$f^\prime(0)=\pi$を満たすとき，次の極限値を求めよ． \[ \lim_{\theta \to 0} \frac{f(1-\cos 2\theta)}{\theta^2} \]
(1) $n$を$3$以上の自然数とする．整式$x^n$を$x^2-4x+3$で割ったときの余りを求めよ．
(2) 数列 \[ 1,\quad 1+3+1,\quad 1+3+9+3+1,\quad 1+3+9+27+9+3+1,\quad \cdots \] の第$n$項から第$2n$項までの和を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．
(3) 微分可能な関数$f(x)$が$f(0)=0$かつ$f^\prime(0)=\pi$を満たすとき，次の極限値を求めよ． \[ \lim_{\theta \to 0} \frac{f(1-\cos 2\theta)}{\theta^2} \]
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