複素数平面上で，複素数$z$に対応する点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}(z)$と表す．$3$点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(1)$，$\mathrm{B}(\beta)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$がある．ただし，複素数$\beta$の偏角$\theta$は，$0<\theta<\pi$を満たすとする．また，$s$と$t$は$4s-t^2>0$を満たす実数とする．等式 \[ \beta^2-t \beta+s=0 \] が成り立つとき，以下の各問に答えよ．
(1) 複素数$\beta$の実部と虚部をそれぞれ$s$と$t$を用いて表せ．
(2) 複素数$\beta$の絶対値と，偏角$\theta$に対する$\sin \theta$を，それぞれ$s$と$t$を用いて表せ．
(3) 三角形$\mathrm{OAB}$が二等辺三角形になるために$s$と$t$が満たすべき条件を求めよ．
(4) 三角形$\mathrm{OAB}$が$\mathrm{OA}=\mathrm{AB}$である二等辺三角形とする．このとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{4}$となる$s$と$t$の値の組をすべて求めよ．