茨城大学
2015年 理学部 第2問
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![座標平面上の相異なる3点P，Q，Rが2つの条件{\begin{array}{l}|ベクトルPQ|=|ベクトルQR|\ベクトルQP・ベクトルQR=-1/3\phantom{\frac{[]}{2}}\end{array}.・・・・・・(*)を満たしながら動くものとする．|ベクトルPQ|をaとする．以下の各問に答えよ．(1)|ベクトルPR|をaで表せ．(2)∠PQR=2/3πのときのaを求めよ．また，∠PQR=πのときのaを求めよ．(3)aがとり得る値の範囲を求めよ．(4)原点をOとし，点Rを(1,0)に固定する．点P，Qが(*)および|ベクトルOP|=|ベクトルPQ|を満たしながら動くとする．点Pが描く軌跡を求めよ．(5)(4)において，点Pが描く軌跡の長さを求めよ．](./thumb/85/2188/2015_2.png)
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座標平面上の相異なる$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が$2$つの条件
\[ \left\{ \begin{array}{l}
|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{QR}}| \\
\overrightarrow{\mathrm{QP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}=-\displaystyle\frac{1}{3} \phantom{\displaystyle\frac{\fbox{}}{2}}
\end{array} \right. \hfill \cdots\cdots (\ast) \]
を満たしながら動くものとする．$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$を$a$とする．以下の各問に答えよ．
(1) $|\overrightarrow{\mathrm{PR}}|$を$a$で表せ．
(2) $\displaystyle \angle \mathrm{PQR}=\frac{2}{3} \pi$のときの$a$を求めよ．また，$\angle \mathrm{PQR}=\pi$のときの$a$を求めよ．
(3) $a$がとり得る値の範囲を求めよ．
(4) 原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{R}$を$(1,\ 0)$に固定する．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が$(\ast)$および \[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}| \] を満たしながら動くとする．点$\mathrm{P}$が描く軌跡を求めよ．
(5) $(4)$において，点$\mathrm{P}$が描く軌跡の長さを求めよ．
(1) $|\overrightarrow{\mathrm{PR}}|$を$a$で表せ．
(2) $\displaystyle \angle \mathrm{PQR}=\frac{2}{3} \pi$のときの$a$を求めよ．また，$\angle \mathrm{PQR}=\pi$のときの$a$を求めよ．
(3) $a$がとり得る値の範囲を求めよ．
(4) 原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{R}$を$(1,\ 0)$に固定する．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が$(\ast)$および \[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}| \] を満たしながら動くとする．点$\mathrm{P}$が描く軌跡を求めよ．
(5) $(4)$において，点$\mathrm{P}$が描く軌跡の長さを求めよ．
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