茨城大学
2014年 理学部 第3問
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$A,\ E$はそれぞれ行列$\left( \begin{array}{cc}
2 & 4 \\
1 & -1
\end{array} \right)$，$\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を表す．以下の各問に答えよ．
(1) $A(A+2E)=a_1(A+2E)$，$A(A-3E)=b_1(A-3E)$となる数$a_1$，$b_1$を求めよ．
(2) 各自然数$n$に対して \[ A^n(A+2E)=a_n(A+2E),\quad A^n(A-3E)=b_n(A-3E) \] となる数$a_n,\ b_n$を求めよ．
(3) 各自然数$n$に対して，$A^n=c_nA+d_nE$となる数$c_n,\ d_n$を求めよ．
(4) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{d_1+d_2+\cdots +d_n}{a_n}$を求めよ．
(5) 各自然数$n$に対して$c_n$は整数であることを示せ．
(1) $A(A+2E)=a_1(A+2E)$，$A(A-3E)=b_1(A-3E)$となる数$a_1$，$b_1$を求めよ．
(2) 各自然数$n$に対して \[ A^n(A+2E)=a_n(A+2E),\quad A^n(A-3E)=b_n(A-3E) \] となる数$a_n,\ b_n$を求めよ．
(3) 各自然数$n$に対して，$A^n=c_nA+d_nE$となる数$c_n,\ d_n$を求めよ．
(4) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{d_1+d_2+\cdots +d_n}{a_n}$を求めよ．
(5) 各自然数$n$に対して$c_n$は整数であることを示せ．
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