次の問に答えなさい．
(1) $2$つの解$\alpha=1+\sqrt{2}$，$\beta=\sqrt{3}$をもつ$2$次方程式を一つ求めなさい．
(2) ある$2$次方程式$f(x)=0$の解の$1$つが$\alpha=s+t \sqrt{2}$であった．このとき，もう一つの解$\beta$に関する次の議論は正しくないことを説明しなさい． \begin{jituwaku} $\alpha=s+t \sqrt{2}$から簡単な計算により，$\alpha^2-2s \alpha+s^2-2t^2=0$を得る．これは，$\alpha$が$x^2-2sx+s^2-2t^2=0$の解であることを意味することから，$f(x)=x^2-2sx+s^2-2t^2$がわかる．よって，$f(x)=0$のもう一つの解$\beta$は$x^2-2sx+s^2-2t^2=0$を解いて$\beta=s-t \sqrt{2}$と求まる． \end{jituwaku}
(3) $2$次方程式$x^2+px+q=0$において，$p,\ q$は有理数とする．$\alpha=1+\sqrt{2}$がこの方程式の解であるとき，もう一方の解$\beta$を求めなさい．