図は各頂点および各辺が点灯する装置を表している．この装置ではスイッチを入れると，$4$つの頂点はそれぞれ独立に$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で，赤，黄，緑のいずれかの色で点灯する．また，各辺は，その両端の$2$つの頂点の色が一致していれば，これら$2$つの頂点と同じ色で点灯し，そうでない場合は青く点灯する．以下の問に答えなさい． \imgc{562_2720_2010_3}
(1) スイッチを入れたとき，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CD}$がともに青になる確率を求めなさい．
(2) スイッチを入れたとき，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CD}$が異なる色になる確率を求めなさい．
(3) スイッチを入れたとき，$4$つの辺の色がすべて青になる確率を求めなさい．