$xy$平面上の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b)$，および，$\mathrm{C}(a,\ b)$ \\ $(0<a<b)$を頂点とする長方形$\mathrm{OACB}$と，辺$\mathrm{OA}$上の定点 \\ $\mathrm{S}(s,\ 0) \ \ (0<s<a)$を考える．次の問に答えなさい． \img{562_2720_2012_1}{25}
(1) 辺$\mathrm{AC}$，$\mathrm{CB}$，$\mathrm{BO}$上に各々点$\mathrm{T}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$を適切にとれば，四角形 \\ $\mathrm{STUV}$は長方形となる．このとき，$\mathrm{AT}=t$として，$t$が満たすべ \\ き条件を$a,\ b,\ s,\ t$を用いて表しなさい．また，定点$\mathrm{S}$に対して， \\ 長方形$\mathrm{OACB}$に内接するこのような長方形$\mathrm{STUV}$は$2$つ存在することを示しなさい．
(2) (1)で考えた$2$つの内接する長方形の面積の和は長方形$\mathrm{OACB}$の面積に等しいことを証明しなさい．