地球を半径$1$の完全な球と仮定し，その球面を$S$と表す．また，地球の中心$\mathrm{O}$，そして，$S$上の，北緯$30^\circ$東経$60^\circ$の点$\mathrm{A}$，および，南緯$30^\circ$西経$60^\circ$の点$\mathrm{B}$の$3$点を含む平面を$\alpha$とする．このとき，次の問に答えなさい．
(1) 点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を，赤道上にあり，それぞれ，東経$0^\circ$，東経$90^\circ$の点とする．また，北極点を点$\mathrm{R}$とする．そこで，原点が地球の中心$\mathrm{O}$であり，さらに，点$\mathrm{P}$が$(1,\ 0,\ 0)$，点$\mathrm{Q}$が$(0,\ 1,\ 0)$，そして，点$\mathrm{R}$が$(0,\ 0,\ 1)$と表される空間座標を考える．このとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めなさい．
(2) 地球表面$S$上の東経が$135^\circ$の点で，平面$\alpha$上にあるものの緯度$\theta \ \ (-90^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ)$に対して，$\tan \theta$を求めなさい．ただし，北極点の緯度は$90^\circ$，南極点の緯度は$-90^\circ$とする．