早稲田大学
2012年 基幹理工・創造理工・先進理工 第2問
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初項を$a_0 \geqq 0$とし、以下の漸化式で定まる数列$\left\{a_n\right\}_{n=0,1,\cdots}$を考える.
\[ a_{n+1} = a_n - \left[\sqrt{a_n}\,\right] \qquad (n \geqq 0) \]
ただし,$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す.つぎの問に答えよ.
(1) $a_0=24$とする.このとき,$a_n=0$となる最小の$n$を求めよ.
(2) $m$を$2$以上の整数とし,$a_0=m^2$とする.このとき,$1 \leqq j \leqq m$をみたす$j$に対して$a_{2j-1},\ a_{2j}$を$j$と$m$で表せ.
(3) $m$を$2$以上の整数,$p$を$1 \leqq p \leqq m-1$をみたす整数とし,$a_0=m^2-p$とする.このとき$a_k=(m-p)^2$となる$k$を求めよ.さらに,$a_n=0$となる最小の$n$を求めよ.
(1) $a_0=24$とする.このとき,$a_n=0$となる最小の$n$を求めよ.
(2) $m$を$2$以上の整数とし,$a_0=m^2$とする.このとき,$1 \leqq j \leqq m$をみたす$j$に対して$a_{2j-1},\ a_{2j}$を$j$と$m$で表せ.
(3) $m$を$2$以上の整数,$p$を$1 \leqq p \leqq m-1$をみたす整数とし,$a_0=m^2-p$とする.このとき$a_k=(m-p)^2$となる$k$を求めよ.さらに,$a_n=0$となる最小の$n$を求めよ.
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