$i$を虚数単位，$a$を$a>1$を満たす実数の定数とする．$t$を$t \geqq 0$を満たす任意の実数として，複素数$z$に関する$2$次方程式$(z-a)^2+t^2(z+a)^2=0$について，次の問いに答えなさい．
(1) 実数$t$が任意に動くとき，複素平面上で点$z$はどのような図形を描くか．それを図示しなさい．
(2) $\displaystyle \omega_1=\frac{az}{z-a}$として，$z$が$(1)$の図形上を動くとき，複素平面上で$\omega_1$の描く図形を求めなさい．
(3) $\displaystyle \omega_2=\frac{z}{z-i}$として，$z$が$(1)$の図形上を動くとき，複素平面上で$\omega_2$の描く図形を求めなさい．
(4) $\omega_1,\ \omega_2$を$(2)$，$(3)$で考えたものとする．$\omega_1,\ \omega_2$の描く$2$つの図形が共有点をもつときの$a$の値の範囲を定めなさい．