次の各問いに答えなさい．
(1) ある高校で受験生$100$人に対して大学合格者数の調査をした．$\mathrm{A}$大学，$\mathrm{B}$大学，$\mathrm{C}$大学，$\mathrm{D}$大学，$\mathrm{E}$大学，$\mathrm{F}$大学の合格者数は，それぞれ$5$人，$8$人，$10$人，$12$人，$15$人，$15$人であった．これら$6$大学すべてに合格した受験生は$3$人で，$\mathrm{E}$大学と$\mathrm{F}$大学両方に合格した受験生は$13$人であった．$6$大学のうち少なくとも$1$つの大学に合格した受験生は，何人以上何人以下であるか求めなさい．
(2) $2$種類の薬品$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，それぞれの薬品$1 \, \mathrm{g}$あたりの成分$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の含有量は，下表のとおりである．この$2$つの薬品を混ぜ合わせて，成分$\mathrm{P}$を$10 \, \mathrm{mg}$以上，かつ，成分$\mathrm{Q}$を$30 \, \mathrm{mg}$以上含むようにする．使用する薬品の質量の合計を最小にするためには，それぞれの薬品を何$\mathrm{g}$ずつ使用すればよいか答えなさい．ただし，薬品を組み合わせることによって，質量に影響をあたえる化学変化は起きないものとする．ただし，$1 \, \mathrm{mg}=0.001 \, \mathrm{g}$である． \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline & 成分$\mathrm{P}$ & 成分$\mathrm{Q}$ \\ \hline 薬品$\mathrm{A}$ & $3 \, \mathrm{mg}$ & $2 \, \mathrm{mg}$ \\ \hline 薬品$\mathrm{B}$ & $5 \, \mathrm{mg}$ & $1 \, \mathrm{mg}$ \\ \hline \end{tabular} \end{center}
(3) $t$は$t \neq \pm 1$を満たす実数とし，$x$の方程式$\displaystyle \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-t}=0$を考える．
(ⅰ) 方程式が正と負の解を$1$つずつもつことを示しなさい．
(ⅱ) 方程式の負の解を$\alpha$とする．$t$が$t>1$の範囲で変化するとき，$\alpha$の存在する範囲を求めなさい．
(4) $1$辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{ABC}$がある．点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{BC}$に関して点$\mathrm{A}$と同じ側に辺$\mathrm{BC}$と垂直な半直線$\mathrm{BX}$，$\mathrm{CY}$を引く．半直線$\mathrm{BX}$，辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，半直線$\mathrm{CY}$の上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をとり，
$\mathrm{PQ} \para \mathrm{BC},\quad \cos \angle \mathrm{BQR}=\sqrt{2} \cos \angle \mathrm{BQP},$
$\angle \mathrm{BRQ}=\angle \mathrm{CRS},\quad \sqrt{2} \cos \angle \mathrm{CST}=-\cos \angle \mathrm{ASR}$
となるようにする．
(ⅰ) $\angle \mathrm{CRS}$の大きさを求めなさい．
(ⅱ) $\mathrm{BP}=x$，$\mathrm{CT}=y$とするとき，$x$と$y$の間に成り立つ関係式を求めなさい．
(5) $1$の目の反対側が$6$，$2$の目の反対側が$5$，$3$の目の反対側が$4$である立方体のサイコロがある．最初は$1$の目が上の面であるとする．このサイコロを横の面のいずれかが上になるように倒す．この操作を繰り返して$n$回目にどの目が上の面であるかを調べる．ただし，$1$回の操作で，$4$つの横の面のそれぞれが上の面になる確率は等しいとする．
(ⅰ) $n$回目に$2$または$5$の目が上の面である確率$p_n$を求めなさい．
(ⅱ) $n$回目に$1$の目が上の面である確率$q_n$を求めなさい．