東京理科大学
2012年 理(数理情報科・応用物理・応用化学) 第3問
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$a$を$a>2$であるような実数とする.座標平面上で,曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$を$C_1$とし,点$(a,\ a)$を中心とし点$(1,\ 1)$を通る円を$C_2$とする.曲線$C_1$と円$C_2$の点$(1,\ 1)$以外の共有点のうち,$x$座標が$1$より小さいものを$\mathrm{B}$とする.点$\mathrm{B}$から直線$y=x$に下ろした垂線と直線$y=x$の交点を$\mathrm{H}$とする.
(1) 円$C_2$の方程式を求めよ.
(2) 点$\mathrm{H}$の座標を求めよ.また,点$\mathrm{H}$と点$(1,\ 1)$の距離を求めよ.
(3) $t$を正の実数とする.直線$y=x$上にあり点$(1,\ 1)$からの距離が$t$である点のうち,$x$座標が$1$より大きいものを$\mathrm{P}$とする.点$\mathrm{P}$を通り直線$y=x$に垂直な直線と曲線$C_1$の交点のうち,$x$座標が$1$より小さいものを$\mathrm{Q}$とする.このとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さを$t$を用いて表せ.
(4) 直線$y=x$と線分$\mathrm{BH}$,および曲線$C_1$で囲まれた部分を,直線$y=x$の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ.
(1) 円$C_2$の方程式を求めよ.
(2) 点$\mathrm{H}$の座標を求めよ.また,点$\mathrm{H}$と点$(1,\ 1)$の距離を求めよ.
(3) $t$を正の実数とする.直線$y=x$上にあり点$(1,\ 1)$からの距離が$t$である点のうち,$x$座標が$1$より大きいものを$\mathrm{P}$とする.点$\mathrm{P}$を通り直線$y=x$に垂直な直線と曲線$C_1$の交点のうち,$x$座標が$1$より小さいものを$\mathrm{Q}$とする.このとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さを$t$を用いて表せ.
(4) 直線$y=x$と線分$\mathrm{BH}$,および曲線$C_1$で囲まれた部分を,直線$y=x$の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ.
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