聖マリアンナ医科大学
2014年 医学部 第1問
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以下の設問の$\fbox{}$に答えなさい.
(1) $a$を$1$より大きな実数,$e$を自然対数の底とし,$f(x)=a^x \log_e a$とする.このとき,曲線$y=f(x)$,直線$x=10$,$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いた式で表すと,$S=\fbox{$1$}$となる.
(2) $\displaystyle \sin x-\cos x=\frac{1}{2}$(ただし,$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$)のとき,$\sin^4 x-\cos^4 x$の値を求めると$\fbox{$2$}$となる.
(3) 数列$\{a_n\}$を初項$2$,公差$7$の等差数列,数列$\{b_n\}$を初項$1$,公比$2$の等比数列とし,数列$\{c_n\}$の第$n$項を$c_n=a_nb_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定義する.数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を$n$を用いた式で表すと,$S_n=\fbox{$3$}$となる.また,$S_n=133132$となるのは$n=\fbox{$4$}$のときである.
(1) $a$を$1$より大きな実数,$e$を自然対数の底とし,$f(x)=a^x \log_e a$とする.このとき,曲線$y=f(x)$,直線$x=10$,$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いた式で表すと,$S=\fbox{$1$}$となる.
(2) $\displaystyle \sin x-\cos x=\frac{1}{2}$(ただし,$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$)のとき,$\sin^4 x-\cos^4 x$の値を求めると$\fbox{$2$}$となる.
(3) 数列$\{a_n\}$を初項$2$,公差$7$の等差数列,数列$\{b_n\}$を初項$1$,公比$2$の等比数列とし,数列$\{c_n\}$の第$n$項を$c_n=a_nb_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定義する.数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を$n$を用いた式で表すと,$S_n=\fbox{$3$}$となる.また,$S_n=133132$となるのは$n=\fbox{$4$}$のときである.
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