$f(x)=x^2-5$として，数列$\{a_n\}$を次のように定義する．\\ \quad $a_1=3$，点$(a_n,\ f(a_n))$における曲線$y=f(x)$の接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$a_{n+1}$とする$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$。\\ \quad 次の問いに答えよ．
(1) $a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(2) 命題$P(n)$を$\lceil \sqrt{5} < a_{n+1} < a_n \rfloor$とするとき，すべての正の整数$n$に対して$P(n)$が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．
(3) 次の不等式が共に成り立つ1より小さい正の数$r$が存在することを示せ．
(4) $a_{n+1}-\sqrt{5} \leqq r(a_n-\sqrt{5}) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(5) $a_n -\sqrt{5} \leqq r^{n-1} \quad (n= 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$