法政大学
2012年 未設定 第5問
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![次の問題は，生命科学部生命機能学科植物医科学専修を志望する受験生のみ解答せよ．Oを原点とする座標平面上に点P(x,y)がある．(1)θは0＜θ＜2πを満たし，行列AをA=(\begin{array}{cc}cosθ&-sinθ\sinθ&cosθ\end{array})とする．行列Aが表す移動により，Pが点Q_1に移るとするとき，Q_1はOを中心にPを角[ア]だけ回転した点である．ただし，[ア]については，以下の\nagamaruichi～\nagamarurokuから1つを選べ．\nagamaruichi-θ\qquad\nagamaruni0\qquad\nagamarusanθ\qquad\nagamarushi2θ\qquad\nagamarugo3θ\qquad\nagamarurokuθ^2行列BをB=1/3Aで定める．行列Bが表す移動によりPが点Q_2に移るとするとき，OQ_2=\frac{[イ]}{[ウ]}OPである．Pがx軸方向に-2だけ平行移動し，y軸方向に4だけ平行移動した点をQ_3(X,Y)とするとき，(\begin{array}{c}X\Y\end{array})=(\begin{array}{c}x\y\end{array})+(\begin{array}{c}[エオ]\[カ]\end{array})が成り立つ．(2)P(x,y)を点R(X,Y)に移す移動Tが(\begin{array}{c}X\Y\end{array})=(\begin{array}{lr}3&-√3\√3&3\end{array})(\begin{array}{c}x\y\end{array})+(\begin{array}{c}14\7\end{array})で表されている．移動Tにより，点B(p,q)が点B(p,q)に移るとするとき，(\begin{array}{c}p\q\end{array})=(\begin{array}{c}[キク]-\sqrt{[ケ]}\[コ]\sqrt{[サ]}-[シ]\end{array})である．また，この移動TによりPが移る点Rは，θ,kを実数として，点Bを中心にPを角θだけ回転した点をP´(x´,y´)とおくと，ベクトルBR=k\overrightarrow{BP´}を満たす．つまり，(1)の行列Aを用いると，(\begin{array}{c}x´-p\y´-q\end{array})=A(\begin{array}{c}x-p\y-q\end{array}),(\begin{array}{c}X-p\Y-q\end{array})=k(\begin{array}{c}x´-p\y´-q\end{array})が成り立つから，θ=\frac{π}{[ス]}，k=[セ]である．ただし，[セ]については，以下の\nagamaruichi～\nagamarukyuから1つを選べ．\nagamaruichi1\qquad\nagamaruni√2\qquad\nagamarusan√3\qquad\nagamarushi2√2\qquad\nagamarugo3\nagamaruroku2√3\qquad\nagamarushichi3√2\qquad\nagamaruhachi3√3\qquad\nagamarukyu6](./thumb/288/461/2012_5.png)
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次の問題は，生命科学部生命機能学科植物医科学専修を志望する受験生のみ解答せよ．
$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{P}(x,\ y)$がある．
(1) $\theta$は$0<\theta<2\pi$を満たし，行列$A$を \[ A=\left( \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) \] とする．行列$A$が表す移動により，$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}_1$に移るとするとき，$\mathrm{Q}_1$は$\mathrm{O}$を中心に$\mathrm{P}$を角$\fbox{ア}$だけ回転した点である． ただし，$\fbox{ア}$については，以下の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$から$1$つを選べ． \[ \nagamaruichi \ \ -\theta \qquad \nagamaruni \ \ 0 \qquad \nagamarusan \ \ \theta \qquad \nagamarushi \ \ 2\theta \qquad \nagamarugo \ \ 3\theta \qquad \nagamaruroku \ \ \theta^2 \] 行列$B$を$\displaystyle B=\frac{1}{3}A$で定める．行列$B$が表す移動により$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}_2$に移るとするとき，$\displaystyle \mathrm{OQ}_2=\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}} \mathrm{OP}$である．
$\mathrm{P}$が$x$軸方向に$-2$だけ平行移動し，$y$軸方向に$4$だけ平行移動した点を$\mathrm{Q}_3(X,\ Y)$とするとき， \[ \left( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)+\left( \begin{array}{c} \fbox{エオ} \\ \fbox{カ} \end{array} \right) \] が成り立つ．
(2) $\mathrm{P}(x,\ y)$を点$\mathrm{R}(X,\ Y)$に移す移動$T$が \[ \left( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lr} 3 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)+\left( \begin{array}{c} 14 \\ 7 \end{array} \right) \] で表されている．
移動$T$により，点$\mathrm{B}(p,\ q)$が点$\mathrm{B}(p,\ q)$に移るとするとき， \[ \left( \begin{array}{c} p \\ q \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \fbox{キク}-\sqrt{\fbox{ケ}} \\ \fbox{コ} \sqrt{\fbox{サ}}-\fbox{シ} \end{array} \right) \] である．
また，この移動$T$により$\mathrm{P}$が移る点$\mathrm{R}$は，$\theta,\ k$を実数として，点$\mathrm{B}$を中心に$\mathrm{P}$を角$\theta$だけ回転した点を$\mathrm{P}^\prime (x^\prime,\ y^\prime)$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{BR}}=k \overrightarrow{\mathrm{BP}^\prime}$を満たす．つまり，$(1)$の行列$A$を用いると， \[ \left( \begin{array}{c} x^\prime-p \\ y^\prime-q \end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c} x-p \\ y-q \end{array} \right),\quad \left( \begin{array}{c} X-p \\ Y-q \end{array} \right)=k \left( \begin{array}{c} x^\prime-p \\ y^\prime-q \end{array} \right) \] が成り立つから，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{\fbox{ス}}$，$k=\fbox{セ}$である．
ただし，$\fbox{セ}$については，以下の$\nagamaruichi$～$\nagamarukyu$から$1$つを選べ．
$\nagamaruichi$ \ \ $1$ \qquad $\nagamaruni$ \ \ $\sqrt{2}$ \qquad $\nagamarusan$ \ \ $\sqrt{3}$ \qquad $\nagamarushi$ \ \ $2 \sqrt{2}$ \qquad $\nagamarugo$ \ \ $3$
$\nagamaruroku$ \ \ $2 \sqrt{3}$ \qquad $\nagamarushichi$ \ \ $3 \sqrt{2}$ \qquad $\nagamaruhachi$ \ \ $3 \sqrt{3}$ \qquad $\nagamarukyu$ \ \ $6$
$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{P}(x,\ y)$がある．
(1) $\theta$は$0<\theta<2\pi$を満たし，行列$A$を \[ A=\left( \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) \] とする．行列$A$が表す移動により，$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}_1$に移るとするとき，$\mathrm{Q}_1$は$\mathrm{O}$を中心に$\mathrm{P}$を角$\fbox{ア}$だけ回転した点である． ただし，$\fbox{ア}$については，以下の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$から$1$つを選べ． \[ \nagamaruichi \ \ -\theta \qquad \nagamaruni \ \ 0 \qquad \nagamarusan \ \ \theta \qquad \nagamarushi \ \ 2\theta \qquad \nagamarugo \ \ 3\theta \qquad \nagamaruroku \ \ \theta^2 \] 行列$B$を$\displaystyle B=\frac{1}{3}A$で定める．行列$B$が表す移動により$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}_2$に移るとするとき，$\displaystyle \mathrm{OQ}_2=\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}} \mathrm{OP}$である．
$\mathrm{P}$が$x$軸方向に$-2$だけ平行移動し，$y$軸方向に$4$だけ平行移動した点を$\mathrm{Q}_3(X,\ Y)$とするとき， \[ \left( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)+\left( \begin{array}{c} \fbox{エオ} \\ \fbox{カ} \end{array} \right) \] が成り立つ．
(2) $\mathrm{P}(x,\ y)$を点$\mathrm{R}(X,\ Y)$に移す移動$T$が \[ \left( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lr} 3 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)+\left( \begin{array}{c} 14 \\ 7 \end{array} \right) \] で表されている．
移動$T$により，点$\mathrm{B}(p,\ q)$が点$\mathrm{B}(p,\ q)$に移るとするとき， \[ \left( \begin{array}{c} p \\ q \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \fbox{キク}-\sqrt{\fbox{ケ}} \\ \fbox{コ} \sqrt{\fbox{サ}}-\fbox{シ} \end{array} \right) \] である．
また，この移動$T$により$\mathrm{P}$が移る点$\mathrm{R}$は，$\theta,\ k$を実数として，点$\mathrm{B}$を中心に$\mathrm{P}$を角$\theta$だけ回転した点を$\mathrm{P}^\prime (x^\prime,\ y^\prime)$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{BR}}=k \overrightarrow{\mathrm{BP}^\prime}$を満たす．つまり，$(1)$の行列$A$を用いると， \[ \left( \begin{array}{c} x^\prime-p \\ y^\prime-q \end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c} x-p \\ y-q \end{array} \right),\quad \left( \begin{array}{c} X-p \\ Y-q \end{array} \right)=k \left( \begin{array}{c} x^\prime-p \\ y^\prime-q \end{array} \right) \] が成り立つから，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{\fbox{ス}}$，$k=\fbox{セ}$である．
ただし，$\fbox{セ}$については，以下の$\nagamaruichi$～$\nagamarukyu$から$1$つを選べ．
$\nagamaruichi$ \ \ $1$ \qquad $\nagamaruni$ \ \ $\sqrt{2}$ \qquad $\nagamarusan$ \ \ $\sqrt{3}$ \qquad $\nagamarushi$ \ \ $2 \sqrt{2}$ \qquad $\nagamarugo$ \ \ $3$
$\nagamaruroku$ \ \ $2 \sqrt{3}$ \qquad $\nagamarushichi$ \ \ $3 \sqrt{2}$ \qquad $\nagamaruhachi$ \ \ $3 \sqrt{3}$ \qquad $\nagamarukyu$ \ \ $6$
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