横浜国立大学
2011年 文系 第2問
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$xy$平面上の曲線$y=x^2$を$C$とする.点P$_0(2,\ 4)$における$C$の接線が直線$y=2$と交わる点をQ$_1(a_1,\ 2)$とする.次に,点P$_1(a_1,\ {a_1}^2)$における$C$の接線が直線$y=a_1$と交わる点をQ$_2(a_2,\ a_1)$とする.以下同様に,点$(a_n,\ {a_n}^2)$をP$_n$とし,P$_n$における$C$の接線が$y=a_n$と交わる点をQ$_{n+1}(a_{n+1},\ a_n)$として,P$_2,\ \text{Q}_3,\ \text{P}_3,\ \text{Q}_4,\ \cdots$を定める.次の問いに答えよ.
(1) $a_1$を求めよ.
(2) $a_n$を$n$の式で表せ.
(3) 線分P$_n$Q$_{n+1}$,線分P$_{n+1}$Q$_{n+1}$,および$C$で囲まれる部分の面積を$n$の式で表せ.
(1) $a_1$を求めよ.
(2) $a_n$を$n$の式で表せ.
(3) 線分P$_n$Q$_{n+1}$,線分P$_{n+1}$Q$_{n+1}$,および$C$で囲まれる部分の面積を$n$の式で表せ.
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