横浜市立大学
2014年 国際総合学部 第2問
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次の問いに答えよ.
(1) 次の各問いに答えよ.
[(ア)] $\displaystyle \frac{8}{9}<\frac{q}{p}<\frac{9}{10}$をみたす自然数$p,\ q$における$p$の最小値を記せ. [(イ)] $\displaystyle \frac{2013}{2014}<\frac{q}{p}<\frac{2014}{2015}$をみたす自然数$p,\ q$における$p$の最小値を記せ.
(2) 自然数$a,\ b,\ c,\ d$が$ad-bc=1$をみたすとき,次の各問いに答えよ.
[(ア)] 自然数$p,\ q$が$dq-cp>0$,$ap-bq>0$をみたすとき,$p$の最小値および$p$が最小となるような$q$の値をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ. [(イ)] $\displaystyle \frac{c}{d}<\frac{q}{p}<\frac{a}{b}$をみたす自然数$p,\ q$で$p$が最小となるような分数$\displaystyle \frac{q}{p}$を考えることにより,$a+c$,$b+d$が互いに素であることを示せ. [(ウ)] $A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right),\ a+d=10$のとき,$(A+A^{-1})^3$の値を求めよ.
(1) 次の各問いに答えよ.
[(ア)] $\displaystyle \frac{8}{9}<\frac{q}{p}<\frac{9}{10}$をみたす自然数$p,\ q$における$p$の最小値を記せ. [(イ)] $\displaystyle \frac{2013}{2014}<\frac{q}{p}<\frac{2014}{2015}$をみたす自然数$p,\ q$における$p$の最小値を記せ.
(2) 自然数$a,\ b,\ c,\ d$が$ad-bc=1$をみたすとき,次の各問いに答えよ.
[(ア)] 自然数$p,\ q$が$dq-cp>0$,$ap-bq>0$をみたすとき,$p$の最小値および$p$が最小となるような$q$の値をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ. [(イ)] $\displaystyle \frac{c}{d}<\frac{q}{p}<\frac{a}{b}$をみたす自然数$p,\ q$で$p$が最小となるような分数$\displaystyle \frac{q}{p}$を考えることにより,$a+c$,$b+d$が互いに素であることを示せ. [(ウ)] $A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right),\ a+d=10$のとき,$(A+A^{-1})^3$の値を求めよ.
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