早稲田大学
2012年 国際教養学部 第3問
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次の問いに答えよ.
(1) 整数$x,\ y$が$x^2-23y^2=1$を満たすとき,次の問いに答えよ.
(2) $1<x+\sqrt{23}y<49$のとき,$x=\fbox{ケ}$,$y=\fbox{コ}$である.
(3) $1$より小なる$x+\sqrt{23}y$が最大になるのは$x=\fbox{サ}$,$y=\fbox{シ}$のときである.
(4) 曲線$y=x^2$,$x$軸,および直線$x=1$で囲まれた図形の面積を$S$とする.この図形の面積の近似値を以下の方法を用いて求める.区間$0 \leqq x \leqq 1$を$n$等分し,$i \ \ (1 \leqq i \leqq n)$番目の区間$\displaystyle\frac{(i-1)}{n} \leqq x \leqq \frac{i}{n}$を底辺とする高さ$\displaystyle \left( \frac{i-\displaystyle\frac{1}{2}}{n} \right)^2$の長方形を考える.これらの長方形の面積の$i$についての総和を$S_n$とする.
(ⅰ) $S_n=\fbox{ス}$である.
(ⅱ) $\displaystyle |S-S_n| \leq \frac{1}{30000}$となる$n$の最小値は$\fbox{セ}$である.
(1) 整数$x,\ y$が$x^2-23y^2=1$を満たすとき,次の問いに答えよ.
(2) $1<x+\sqrt{23}y<49$のとき,$x=\fbox{ケ}$,$y=\fbox{コ}$である.
(3) $1$より小なる$x+\sqrt{23}y$が最大になるのは$x=\fbox{サ}$,$y=\fbox{シ}$のときである.
(4) 曲線$y=x^2$,$x$軸,および直線$x=1$で囲まれた図形の面積を$S$とする.この図形の面積の近似値を以下の方法を用いて求める.区間$0 \leqq x \leqq 1$を$n$等分し,$i \ \ (1 \leqq i \leqq n)$番目の区間$\displaystyle\frac{(i-1)}{n} \leqq x \leqq \frac{i}{n}$を底辺とする高さ$\displaystyle \left( \frac{i-\displaystyle\frac{1}{2}}{n} \right)^2$の長方形を考える.これらの長方形の面積の$i$についての総和を$S_n$とする.
(ⅰ) $S_n=\fbox{ス}$である.
(ⅱ) $\displaystyle |S-S_n| \leq \frac{1}{30000}$となる$n$の最小値は$\fbox{セ}$である.
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