早稲田大学
2015年 人間科学学部(理系) 第5問
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曲線$C:y=x^3$上に,次のようにして点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\cdots$,$\mathrm{P}_n$,$\cdots$をとる.
(ⅰ) $\mathrm{P}_1$は$C$上の与えられた点とする.
(ⅱ) $\mathrm{P}_n$を通り,$\mathrm{P}_n$とは異なる点で$C$と接する直線が$1$つだけ存在するとき,その直線を$\ell_n$とし,$\ell_n$と$C$との接点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする.もしこのような直線$\ell_n$が存在しない場合には$\mathrm{P}_{n+1}$は$\mathrm{P}_n$と同一の点とする.
点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を$x_n$とするとき,次の問に答えよ.
(1) 直線$\ell_n$が存在する場合$\displaystyle x_{n+1}=\frac{\fbox{ト}}{\fbox{ナ}}x_n$である.
(2) $\mathrm{P}_1$を原点とするとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=\fbox{ニ}$である.
(3) $\mathrm{P}_1$を点$(2,\ 8)$とするとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=\fbox{ヌ}$である.
(ⅰ) $\mathrm{P}_1$は$C$上の与えられた点とする.
(ⅱ) $\mathrm{P}_n$を通り,$\mathrm{P}_n$とは異なる点で$C$と接する直線が$1$つだけ存在するとき,その直線を$\ell_n$とし,$\ell_n$と$C$との接点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする.もしこのような直線$\ell_n$が存在しない場合には$\mathrm{P}_{n+1}$は$\mathrm{P}_n$と同一の点とする.
点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を$x_n$とするとき,次の問に答えよ.
(1) 直線$\ell_n$が存在する場合$\displaystyle x_{n+1}=\frac{\fbox{ト}}{\fbox{ナ}}x_n$である.
(2) $\mathrm{P}_1$を原点とするとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=\fbox{ニ}$である.
(3) $\mathrm{P}_1$を点$(2,\ 8)$とするとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=\fbox{ヌ}$である.
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