東京大学
2011年 文系 第3問
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![p,qを2つの正の整数とする.整数a,b,cで条件-q≦b≦0≦a≦p,b≦c≦aを満たすものを考え,このようなa,b,cを[a,b;c]の形に並べたものを(p,q)パターンと呼ぶ.各(p,q)パターン[a,b;c]に対してw([a,b;c])=p-q-(a+b)とおく.(1)(p,q)パターンのうち,w([a,b;c])=-qとなるものの個数を求めよ.また,w([a,b;c])=pとなる(p,q)パターンの個数を求めよ.\\以下p=qの場合を考える.(2)sをp以下の整数とする.(p,p)パターンでw([a,b;c])=-p+sとなるものの個数を求めよ.](./thumb/179/909/2011_3.png)
3
$p$,$q$を2つの正の整数とする.整数$a$,$b$,$c$で条件
\[
-q\leqq b\leqq0\leqq a\leqq p,\quad b\leqq c\leqq a
\]
を満たすものを考え,このような$a$,$b$,$c$を$[a,\ b\ ;\ c]$の形に並べたものを$(p,\ q)$パターンと呼ぶ.各$(p,\ q)$パターン$[a,\ b\ ;\ c]$に対して
\[
w([a,\ b\ ;\ c])=p-q-(a+b)
\]
とおく.
(1) $(p,\ q)$パターンのうち,$w([a,\ b\ ;\ c])=-q$となるものの個数を求めよ.また,$w([a,\ b\ ;\ c])=p$となる$(p,\ q)$パターンの個数を求めよ.\\ 以下$p=q$の場合を考える.
(2) $s$を$p$以下の整数とする.$(p,\ p)$パターンで$w([a,\ b\ ;\ c])=-p+s$となるものの個数を求めよ.
(1) $(p,\ q)$パターンのうち,$w([a,\ b\ ;\ c])=-q$となるものの個数を求めよ.また,$w([a,\ b\ ;\ c])=p$となる$(p,\ q)$パターンの個数を求めよ.\\ 以下$p=q$の場合を考える.
(2) $s$を$p$以下の整数とする.$(p,\ p)$パターンで$w([a,\ b\ ;\ c])=-p+s$となるものの個数を求めよ.
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