滋賀県立大学
2014年 環境科学部・工学部 第3問
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![2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}a&b\c&d\end{array})(a,b,c,dは実数とする)に対して,2次方程式x^2-(a+d)x+ad-bc=0は相異なる2つの実数解α,βをもつとする.いま,P=\frac{1}{α-β}(A-βE),Q=\frac{1}{β-α}(A-αE)とおく.ただし,Eは2次の単位行列である.(1)PQ=QP=Oが成り立つことを示せ.ただし,Oは2次の零行列である.(2)P+Q=E,P^2=PおよびQ^2=Qが成り立つことを示せ.(3)A=αP+βQが成り立つことを示せ.(4)A^n=α^nP+β^nQ(n=1,2,3,・・・)が成り立つことを示せ.](./thumb/466/2727/2014_3.png)
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$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$($a,\ b,\ c,\ d$は実数とする)に対して,$2$次方程式$x^2-(a+d)x+ad-bc=0$は相異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとする.いま,
\[ P=\frac{1}{\alpha-\beta}(A-\beta E),\quad Q=\frac{1}{\beta-\alpha}(A-\alpha E) \]
とおく.ただし,$E$は$2$次の単位行列である.
(1) $PQ=QP=O$が成り立つことを示せ.ただし,$O$は$2$次の零行列である.
(2) $P+Q=E,\ P^2=P$および$Q^2=Q$が成り立つことを示せ.
(3) $A=\alpha P+\beta Q$が成り立つことを示せ.
(4) $A^n=\alpha^n P+\beta^n Q \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ.
(1) $PQ=QP=O$が成り立つことを示せ.ただし,$O$は$2$次の零行列である.
(2) $P+Q=E,\ P^2=P$および$Q^2=Q$が成り立つことを示せ.
(3) $A=\alpha P+\beta Q$が成り立つことを示せ.
(4) $A^n=\alpha^n P+\beta^n Q \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ.
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