愛媛大学
2013年 理学部・工学部 第4問
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行列$\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{2} & -\displaystyle\frac{1}{4} \\
a & b
\end{array} \right)$で表される$1$次変換を$f$とする.$f$は$3$点$\mathrm{A}(1,\ m)$,$\mathrm{B}(0,\ 1)$,$\mathrm{C}(m,\ -1)$に対して,次の$2$つの条件$\maruichi,\ \maruni$を満たすものとする.ただし,$\mathrm{O}$は原点である.
$\maruichi$ \ \ $\mathrm{A}$の$f$による像は$\mathrm{A}$自身である
$\maruni$ \ \ $\mathrm{B}$の$f$による像を$\mathrm{B}^\prime$とすると,$\overrightarrow{\mathrm{BB^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である
(1) $a,\ b,\ m$の値を求めよ.
(2) $\mathrm{P}(x,\ y)$を任意の点とし,$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}^\prime$とする.$\overrightarrow{\mathrm{PP^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ.
(3) 点$\mathrm{Q}(t,\ t^2-1)$の$f$による像を$\mathrm{Q}^\prime$とする.$|\overrightarrow{\mathrm{QQ^\prime}}|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ.
$\maruichi$ \ \ $\mathrm{A}$の$f$による像は$\mathrm{A}$自身である
$\maruni$ \ \ $\mathrm{B}$の$f$による像を$\mathrm{B}^\prime$とすると,$\overrightarrow{\mathrm{BB^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である
(1) $a,\ b,\ m$の値を求めよ.
(2) $\mathrm{P}(x,\ y)$を任意の点とし,$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}^\prime$とする.$\overrightarrow{\mathrm{PP^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ.
(3) 点$\mathrm{Q}(t,\ t^2-1)$の$f$による像を$\mathrm{Q}^\prime$とする.$|\overrightarrow{\mathrm{QQ^\prime}}|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ.
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