愛媛大学
2011年 農・工(環境建設)・教育・総合人間 第4問
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![四面体OABCの辺OB,OC,AC,ABの中点をそれぞれP,Q,R,Sとする.また,ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとする.(1)ベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて,ベクトルASとベクトルARを表せ.(2)ベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて,ベクトルPQ,ベクトルPS,ベクトルSRを表せ.(3)点O,A,B,Cの座標が実数tを用いて,それぞれ(0,0,0),(1,2,3),(t,1,0),(2,t,1)で与えられているとする.(i)四角形PQRSが長方形となるようなtの値を求めよ.(ii)四角形PQRSがひし形となるようなtの値を求めよ.](./thumb/669/2880/2011_4.png)
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四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OB}$,$\mathrm{OC}$,$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$とする.また,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする.
(1) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて,$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を表せ.
(2) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて,$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$,$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$,$\overrightarrow{\mathrm{SR}}$を表せ.
(3) 点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の座標が実数$t$を用いて,それぞれ$(0,\ 0,\ 0)$,$(1,\ 2,\ 3)$,$(t,\ 1,\ 0)$,$(2,\ t,\ 1)$で与えられているとする.
(ⅰ) 四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形となるような$t$の値を求めよ.
(ⅱ) 四角形$\mathrm{PQRS}$がひし形となるような$t$の値を求めよ.
(1) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて,$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を表せ.
(2) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて,$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$,$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$,$\overrightarrow{\mathrm{SR}}$を表せ.
(3) 点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の座標が実数$t$を用いて,それぞれ$(0,\ 0,\ 0)$,$(1,\ 2,\ 3)$,$(t,\ 1,\ 0)$,$(2,\ t,\ 1)$で与えられているとする.
(ⅰ) 四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形となるような$t$の値を求めよ.
(ⅱ) 四角形$\mathrm{PQRS}$がひし形となるような$t$の値を求めよ.
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