筑波大学
2016年 理系 第5問
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![△PQRにおいて∠RPQ=θ,∠PQR=π/2とする.点P_n(n=1,2,3,・・・)を次で定める.P_1=P,P_2=Q,P_nP_{n+2}=P_nP_{n+1}ただし,点P_{n+2}は線分P_nR上にあるものとする.実数θ_n(n=1,2,3,・・・)をθ_n=∠P_{n+1}P_nP_{n+2}(0<θ_n<π)で定める.(1)θ_2,θ_3をθを用いて表せ.(2)θ_{n+1}+\frac{θ_n}{2}(n=1,2,3,・・・)はnによらない定数であることを示せ.(3)\lim_{n→∞}θ_nを求めよ.(プレビューでは図は省略します)](./thumb/86/1824/2016_5.png)
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$\triangle \mathrm{PQR}$において$\angle \mathrm{RPQ}=\theta$,$\displaystyle \angle \mathrm{PQR}=\frac{\pi}{2}$とする.点$\mathrm{P}_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次で定める.
\[ \mathrm{P}_1=\mathrm{P},\quad \mathrm{P}_2=\mathrm{Q},\quad \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+2}=\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} \]
ただし,点$\mathrm{P}_{n+2}$は線分$\mathrm{P}_n \mathrm{R}$上にあるものとする.実数$\theta_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ \theta_n=\angle \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+2} \quad (0<\theta_n<\pi) \]
で定める.
(1) $\theta_2,\ \theta_3$を$\theta$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle \theta_{n+1}+\frac{\theta_n}{2} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は$n$によらない定数であることを示せ.
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \theta_n$を求めよ. \imgc{86_1824_2016_2}
(1) $\theta_2,\ \theta_3$を$\theta$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle \theta_{n+1}+\frac{\theta_n}{2} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は$n$によらない定数であることを示せ.
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \theta_n$を求めよ. \imgc{86_1824_2016_2}
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