東京大学
2010年 理系 第6問
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![四面体OABCにおいて,4つの面はすべて合同であり,OA=3,OB=√7,AB=2であるとする.また,3点O,A,Bを含む平面をLとする.(1)点Cから平面Lにおろした垂線の足をHとおく.ベクトルOHをベクトルOAとベクトルOBを用いて表せ.(2)0<t<1をみたす実数tに対して,線分OA,OB各々をt:1-tに内分する点をそれぞれP_t,Q_tとおく.2点P_t,Q_tを通り,平面Lに垂直な平面をMとするとき,平面Mによる四面体OABCの切り口の面積S(t)を求めよ.(3)tが0<t<1の範囲を動くとき,S(t)の最大値を求めよ.](./thumb/179/910/2010_6.png)
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四面体$\mathrm{OABC}$において,$4$つの面はすべて合同であり,$\mathrm{OA}=3$,$\mathrm{OB}=\sqrt{7}$,$\mathrm{AB}=2$であるとする.また,$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を含む平面を$L$とする.
(1) 点$\mathrm{C}$から平面$L$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とおく.$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ.
(2) $0<t<1$をみたす実数$t$に対して,線分$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$各々を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}_t$,$\mathrm{Q}_t$とおく.$2$点$\mathrm{P}_t$,$\mathrm{Q}_t$を通り,平面$L$に垂直な平面を$M$とするとき,平面$M$による四面体$\mathrm{OABC}$の切り口の面積$S(t)$を求めよ.
(3) $t$が$0<t<1$の範囲を動くとき,$S(t)$の最大値を求めよ.
(1) 点$\mathrm{C}$から平面$L$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とおく.$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ.
(2) $0<t<1$をみたす実数$t$に対して,線分$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$各々を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}_t$,$\mathrm{Q}_t$とおく.$2$点$\mathrm{P}_t$,$\mathrm{Q}_t$を通り,平面$L$に垂直な平面を$M$とするとき,平面$M$による四面体$\mathrm{OABC}$の切り口の面積$S(t)$を求めよ.
(3) $t$が$0<t<1$の範囲を動くとき,$S(t)$の最大値を求めよ.
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