立教大学
2011年 文系 第3問
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![座標平面上の点A(1,1)を中心とする円(x-1)^2+(y-1)^2=1上を,点P_0(2,1)から出発して一定の速度で反時計回りに動く点Pと,座標平面上の点B(-1,-1)を中心とするもう1つの円(x+1)^2+(y+1)^2=1上を,点Q_0(-1,0)から出発して反時計回りに動く点Qについて考える.点Pと点Qが各円周上を進む速度は等しいものとする.このとき,次の問に答えよ.(1)図に示すように∠P_0APならびに∠Q_0BQをθとするとき,点Pと点Qそれぞれの座標をθを用いて表せ.(2)線分PQの長さの最大値と,そのときの点Pの位置P_1と点Qの位置Q_1それぞれの座標を求めよ.また,線分PQの長さの最小値と,そのときの点Pの位置P_2と点Qの位置Q_2それぞれの座標を求めよ.(3)(2)で求めたP_1,P_2,Q_1,Q_2について,4点P_1,Q_1,Q_2,P_2がつくる四角形の面積を求めよ.(プレビューでは図は省略します)](./thumb/300/395/2011_3.png)
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座標平面上の点$\mathrm{A}(1,\ 1)$を中心とする円$(x-1)^2+(y-1)^2=1$上を,点$\mathrm{P}_0(2,\ 1)$から出発して一定の速度で反時計回りに動く点$\mathrm{P}$と,座標平面上の点$\mathrm{B}(-1,\ -1)$を中心とするもう$1$つの円$(x+1)^2+(y+1)^2=1$上を,点$\mathrm{Q}_0(-1,\ 0)$から出発して反時計回りに動く点$\mathrm{Q}$について考える.点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が各円周上を進む速度は等しいものとする.このとき,次の問に答えよ.
(1) 図に示すように$\angle \mathrm{P}_0 \mathrm{AP}$ならびに$\angle \mathrm{Q}_0 \mathrm{BQ}$を$\theta$とするとき,点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$それぞれの座標を$\theta$を用いて表せ.
(2) 線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値と,そのときの点$\mathrm{P}$の位置$\mathrm{P}_1$と点$\mathrm{Q}$の位置$\mathrm{Q}_1$それぞれの座標を求めよ.また,線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値と,そのときの点$\mathrm{P}$の位置$\mathrm{P}_2$と点$\mathrm{Q}$の位置$\mathrm{Q}_2$それぞれの座標を求めよ.
(3) $(2)$で求めた$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_2$について,$4$点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_2$,$\mathrm{P}_2$がつくる四角形の面積を求めよ. \imgc{300_395_2011_1}
(1) 図に示すように$\angle \mathrm{P}_0 \mathrm{AP}$ならびに$\angle \mathrm{Q}_0 \mathrm{BQ}$を$\theta$とするとき,点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$それぞれの座標を$\theta$を用いて表せ.
(2) 線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値と,そのときの点$\mathrm{P}$の位置$\mathrm{P}_1$と点$\mathrm{Q}$の位置$\mathrm{Q}_1$それぞれの座標を求めよ.また,線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値と,そのときの点$\mathrm{P}$の位置$\mathrm{P}_2$と点$\mathrm{Q}$の位置$\mathrm{Q}_2$それぞれの座標を求めよ.
(3) $(2)$で求めた$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_2$について,$4$点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_2$,$\mathrm{P}_2$がつくる四角形の面積を求めよ. \imgc{300_395_2011_1}
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