長崎大学
2013年 理系 第3問
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$n$を$2$以上の整数とする.$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$が与えられたとき,
\[ P_n=(a_1+a_2+\cdots +a_n)^2,\quad Q_n={a_1}^2+{a_2}^2+\cdots +{a_n}^2 \]
とおく.次に,$1 \leqq i<j \leqq n$を満たすすべての番号$i,\ j$に対する$a_ia_j$の和を$R_n$とする.たとえば,$R_2=a_1a_2$,$R_3=a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3$である.同様に,$1 \leqq i<j \leqq n$を満たすすべての番号$i,\ j$に対する$(a_i-a_j)^2$の和を$S_n$とする.たとえば,$S_2=(a_1-a_2)^2$,$S_3=(a_1-a_2)^2+(a_1-a_3)^2+(a_2-a_3)^2$である.次の問いに答えよ.
(1) $P_4$を$Q_4$と$R_4$を使って表せ.
(2) すべての$n \geqq 2$に対して$S_n=(n-1)Q_n-2R_n$と表されることを,数学的帰納法で証明せよ.
(3) $Q_4$を$P_4$と$S_4$を使って表せ.
(4) $a_1+a_2+a_3+a_4=1$のとき,$Q_4$の最小値と,そのときの$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$の値をそれぞれ求めよ.
(1) $P_4$を$Q_4$と$R_4$を使って表せ.
(2) すべての$n \geqq 2$に対して$S_n=(n-1)Q_n-2R_n$と表されることを,数学的帰納法で証明せよ.
(3) $Q_4$を$P_4$と$S_4$を使って表せ.
(4) $a_1+a_2+a_3+a_4=1$のとき,$Q_4$の最小値と,そのときの$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$の値をそれぞれ求めよ.
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コメント(1件)
2015-09-12 17:48:12
解答よろしくお願いします。 |
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