日本女子大学
2013年 理学部 第2問
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![1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて,ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとおく.線分BCをs:(1-s)に内分する点P,線分APをt:(1-t)に内分する点Qをとる.ただし0<s<1,0<t<1とする.(1)ベクトルOPをs,ベクトルb,ベクトルcで表せ.(2)ベクトルOQをs,t,ベクトルa,ベクトルb,ベクトルcで表せ.(3)ベクトルOA・ベクトルOQ=2/3,ベクトルOB・ベクトルOQ=3/4のとき,s,tの値を求めよ.ここで・は内積を表す.](./thumb/280/2171/2013_2.png)
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$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく.線分$\mathrm{BC}$を$s:(1-s)$に内分する点$\mathrm{P}$,線分$\mathrm{AP}$を$t:(1-t)$に内分する点$\mathrm{Q}$をとる.ただし$0<s<1$,$0<t<1$とする.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$s$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$で表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$,$t$,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$で表せ.
(3) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{2}{3}$,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{3}{4}$のとき,$s$,$t$の値を求めよ.ここで$\cdot$は内積を表す.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$s$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$で表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$,$t$,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$で表せ.
(3) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{2}{3}$,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{3}{4}$のとき,$s$,$t$の値を求めよ.ここで$\cdot$は内積を表す.
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