福井大学
2016年 工学部 第3問
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![原点をOとするxy平面上に,F(5,0)とF´(-5,0)とを焦点とし,直線ℓ:y=kxと直線ℓ´:y=-kxとを漸近線とする双曲線Cがある.C上に点Pをとるとき,以下の問いに答えよ.ただし,kは正の定数とする.(1)双曲線Cの方程式を求めよ.(2)点Pを通り,ℓ,ℓ´に平行な直線をそれぞれm,m´とする.4つの直線ℓ,ℓ´,m,m´で囲まれた平行四辺形の面積をSとするとき,SはC上の点Pのとり方によらずに一定であることを示せ.(3)k=2のとき,PF・PF´=2OP^2をみたすC上の点Pの座標を求めよ.ただし,Pは第1象限にあるものとする.](./thumb/366/2547/2016_3.png)
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原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上に,$\mathrm{F}(5,\ 0)$と$\mathrm{F}^\prime(-5,\ 0)$とを焦点とし,直線$\ell:y=kx$と直線$\ell^\prime:y=-kx$とを漸近線とする双曲線$C$がある.$C$上に点$\mathrm{P}$をとるとき,以下の問いに答えよ.ただし,$k$は正の定数とする.
(1) 双曲線$C$の方程式を求めよ.
(2) 点$\mathrm{P}$を通り,$\ell,\ \ell^\prime$に平行な直線をそれぞれ$m,\ m^\prime$とする.$4$つの直線$\ell,\ \ell^\prime,\ m,\ m^\prime$で囲まれた平行四辺形の面積を$S$とするとき,$S$は$C$上の点$\mathrm{P}$のとり方によらずに一定であることを示せ.
(3) $k=2$のとき,$\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF}^\prime=2 \mathrm{OP}^2$をみたす$C$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.ただし,$\mathrm{P}$は第$1$象限にあるものとする.
(1) 双曲線$C$の方程式を求めよ.
(2) 点$\mathrm{P}$を通り,$\ell,\ \ell^\prime$に平行な直線をそれぞれ$m,\ m^\prime$とする.$4$つの直線$\ell,\ \ell^\prime,\ m,\ m^\prime$で囲まれた平行四辺形の面積を$S$とするとき,$S$は$C$上の点$\mathrm{P}$のとり方によらずに一定であることを示せ.
(3) $k=2$のとき,$\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF}^\prime=2 \mathrm{OP}^2$をみたす$C$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.ただし,$\mathrm{P}$は第$1$象限にあるものとする.
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