北海道医療大学
2014年 看護福祉学部・心理科学部・リハビリテーション学部 第2問
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三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=l$，$\angle \mathrm{BAC}={108}^\circ$である．ただし，$l$は正の定数とする．この三角形の辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{DA}=\mathrm{DB}$となるようにとり，$\angle \mathrm{ABC}=\theta$，$\mathrm{BD}=x$とするとき，以下の問に答えよ．
(1) 以下の角度の値を求めよ．
$\maruichi \ \ \theta$ \qquad $\maruni \ \ \angle \mathrm{CAD}$ \qquad $\marusan \ \ \angle \mathrm{CDA}$
(2) 点$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{AB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{DE}$とするとき，三角形$\mathrm{BDE}$に着目して，$\cos \theta$を$x$と$l$を用いて表せ．
(3) 点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AF}$とするとき，三角形$\mathrm{BAF}$に着目して，$\cos \theta$を$x$と$l$を用いて表せ．
(4) $x$を$l$を用いて表せ．
(5) $\cos \theta$の値を求めよ． 三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径と内接円の半径をそれぞれ$R,\ r$とするとき，次の$\maruichi$と$\maruni$の値を分母を有理化して求めよ．
$\displaystyle \maruichi \ \ \frac{R^2}{l^2}$ \qquad $\displaystyle \maruni \ \ \frac{r^2}{l^2}$
(1) 以下の角度の値を求めよ．
$\maruichi \ \ \theta$ \qquad $\maruni \ \ \angle \mathrm{CAD}$ \qquad $\marusan \ \ \angle \mathrm{CDA}$
(2) 点$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{AB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{DE}$とするとき，三角形$\mathrm{BDE}$に着目して，$\cos \theta$を$x$と$l$を用いて表せ．
(3) 点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AF}$とするとき，三角形$\mathrm{BAF}$に着目して，$\cos \theta$を$x$と$l$を用いて表せ．
(4) $x$を$l$を用いて表せ．
(5) $\cos \theta$の値を求めよ． 三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径と内接円の半径をそれぞれ$R,\ r$とするとき，次の$\maruichi$と$\maruni$の値を分母を有理化して求めよ．
$\displaystyle \maruichi \ \ \frac{R^2}{l^2}$ \qquad $\displaystyle \maruni \ \ \frac{r^2}{l^2}$
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