早稲田大学
2015年 教育 第2問
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$3$種類の記号$a,\ b,\ c$から重複を許して$n$個を選び,それらを一列に並べて得られる長さ$n$の記号列を考える.このような記号列のなかで,$a$がちょうど偶数個含まれるようなものの総数を$g(n)$とする.ただし,$0$個の場合も偶数個とみなす.たとえば,$g(1)=2$,$g(2)=5$である.
(1) 自然数$n \geqq 1$に対して$g(n+1)=g(n)+3^n$が成り立つことを示せ.
(2) $g(n)$を求めよ.
(3) 一般に,$a$を含む$m$種類の記号から重複を許して$n$個を選び,それらを一列に並べて得られる長さ$n$の記号列を考える.ただし,$m \geqq 2$とする.このような記号列のなかで,$a$がちょうど奇数個含まれるようなものの総数を$k_m(n)$とする.自然数$n \geqq 1$に対して,$k_m(n)$を求めよ.
(1) 自然数$n \geqq 1$に対して$g(n+1)=g(n)+3^n$が成り立つことを示せ.
(2) $g(n)$を求めよ.
(3) 一般に,$a$を含む$m$種類の記号から重複を許して$n$個を選び,それらを一列に並べて得られる長さ$n$の記号列を考える.ただし,$m \geqq 2$とする.このような記号列のなかで,$a$がちょうど奇数個含まれるようなものの総数を$k_m(n)$とする.自然数$n \geqq 1$に対して,$k_m(n)$を求めよ.
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