津田塾大学
2016年 学芸(数学) 第3問
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空間内の異なる$4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$は同一平面上にないとし,$\mathrm{OA} \perp \mathrm{AB}$,$\mathrm{OA} \perp \mathrm{AC}$,$\mathrm{OB} \perp \mathrm{BC}$とする.また,$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする.
(1) $|\overrightarrow{a}|^2=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$,$|\overrightarrow{a}|^2=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$,$|\overrightarrow{b}|^2=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$であることを示せ.
(2) $\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AB}^\prime$,$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OC}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AC}^\prime$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}=k \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}^\prime}=l \overrightarrow{c}$とする.$|\overrightarrow{a}|^2=k|\overrightarrow{b}|^2=l|\overrightarrow{c}|^2$であることを示せ.
(3) $\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{AC}^\prime=\theta$とするとき,$\cos \theta$を$k,\ l$を用いて表せ.
(1) $|\overrightarrow{a}|^2=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$,$|\overrightarrow{a}|^2=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$,$|\overrightarrow{b}|^2=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$であることを示せ.
(2) $\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AB}^\prime$,$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OC}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AC}^\prime$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}=k \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}^\prime}=l \overrightarrow{c}$とする.$|\overrightarrow{a}|^2=k|\overrightarrow{b}|^2=l|\overrightarrow{c}|^2$であることを示せ.
(3) $\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{AC}^\prime=\theta$とするとき,$\cos \theta$を$k,\ l$を用いて表せ.
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