東京学芸大学
2013年 理系 第4問
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![x≧0において連続関数f(x)が不等式f(x)≦a+∫_0^x2tf(t)dtをみたしているとする.g(x)=ae^{x^2}とするとき,下の問いに答えよ.ただし,aは0以上の定数である.(1)等式g(x)=a+∫_0^x2tg(t)dtを示せ.(2)h(x)=e^{-x^2}∫_0^x2tf(t)dtとするとき,x>0において不等式h´(x)≦2axe^{-x^2}が成り立つことを示せ.(3)x≧0において不等式f(x)≦g(x)が成り立つことを示せ.](./thumb/183/2332/2013_4.png)
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$x \geqq 0$において連続関数$f(x)$が不等式
\[ f(x) \leqq a+\int_0^x 2tf(t) \, dt \]
をみたしているとする.$g(x)=ae^{x^2}$とするとき,下の問いに答えよ.ただし,$a$は$0$以上の定数である.
(1) 等式$\displaystyle g(x)=a+\int_0^x 2tg(t) \, dt$を示せ.
(2) $\displaystyle h(x)=e^{-x^2}\int_0^x 2tf(t) \, dt$とするとき,$x>0$において不等式$h^\prime(x) \leqq 2axe^{-x^2}$が成り立つことを示せ.
(3) $x \geqq 0$において不等式$f(x) \leqq g(x)$が成り立つことを示せ.
(1) 等式$\displaystyle g(x)=a+\int_0^x 2tg(t) \, dt$を示せ.
(2) $\displaystyle h(x)=e^{-x^2}\int_0^x 2tf(t) \, dt$とするとき,$x>0$において不等式$h^\prime(x) \leqq 2axe^{-x^2}$が成り立つことを示せ.
(3) $x \geqq 0$において不等式$f(x) \leqq g(x)$が成り立つことを示せ.
類題(関連度順)
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コメント(1件)
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