昭和大学
2015年 歯学部・薬学部・保健医療 第4問
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一辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$とする.$0<a<1$として,線分$\mathrm{AD}$を$(1-a):a$に内分する点を$\mathrm{O}$,線分$\mathrm{CE}$を$a:(1-a)$に内分する点を$\mathrm{P}$とし,直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{EF}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{x}$,$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{y}$とするとき,以下の各問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y},\ a$で表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ a$で表せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos^2 \theta$を$a$で表せ.
(4) $\theta={45}^\circ$のときの$a$の値を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y},\ a$で表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ a$で表せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos^2 \theta$を$a$で表せ.
(4) $\theta={45}^\circ$のときの$a$の値を求めよ.
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