札幌医科大学
2014年 医学部 第1問
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![三角形ABCに内接する半径Rの円がある.内接円と辺BC,CA,ABとの接点をそれぞれD,E,Fとする.またα=∠A,β=∠B,γ=∠Cとする.三角形ABCの面積をS_1,三角形DEFの面積をS_2とする.(1)S_1をR,tanα/2,tanβ/2,tanγ/2を用いて表せ.(2)S_2をR,cosα/2,cosβ/2,cosγ/2を用いて表せ.以後γ=π/2とする.(3)\frac{S_2}{S_1}をsinαとcosαを用いて表せ.(4)\frac{S_2}{S_1}の最大値を求めよ.](./thumb/10/2251/2014_1.png)
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三角形$\mathrm{ABC}$に内接する半径$R$の円がある.内接円と辺$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$,$\mathrm{AB}$との接点をそれぞれ$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$とする.また$\alpha=\angle \mathrm{A}$,$\beta=\angle \mathrm{B}$,$\gamma=\angle \mathrm{C}$とする.三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S_1$,三角形$\mathrm{DEF}$の面積を$S_2$とする.
(1) $S_1$を$\displaystyle R,\ \tan \frac{\alpha}{2},\ \tan \frac{\beta}{2},\ \tan \frac{\gamma}{2}$を用いて表せ.
(2) $S_2$を$\displaystyle R,\ \cos \frac{\alpha}{2},\ \cos \frac{\beta}{2},\ \cos \frac{\gamma}{2}$を用いて表せ.
以後$\displaystyle \gamma=\frac{\pi}{2}$とする.
(3) $\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$\sin \alpha$と$\cos \alpha$を用いて表せ.
(4) $\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最大値を求めよ.
(1) $S_1$を$\displaystyle R,\ \tan \frac{\alpha}{2},\ \tan \frac{\beta}{2},\ \tan \frac{\gamma}{2}$を用いて表せ.
(2) $S_2$を$\displaystyle R,\ \cos \frac{\alpha}{2},\ \cos \frac{\beta}{2},\ \cos \frac{\gamma}{2}$を用いて表せ.
以後$\displaystyle \gamma=\frac{\pi}{2}$とする.
(3) $\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$\sin \alpha$と$\cos \alpha$を用いて表せ.
(4) $\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最大値を求めよ.
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