明治大学
2012年 商学部 第2問
2
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次の$\fbox{}$に当てはまる$0$~$9$の数字を解答欄に書け.
座標平面上にある$2$点$\mathrm{P}(2t,\ 2t^3)$,$\mathrm{Q}(-4,\ 4t^2-8)$が,$-2 \leqq t \leqq 2$の範囲で動く.$\ell:y=x+b$とし,$\mathrm{P}$と$\ell$の距離を$\alpha$,$\mathrm{Q}$と$\ell$の距離を$\beta$とする.$\mathrm{P}$は,$\ell$より上側にあり,$\mathrm{Q}$は,$\ell$より下側にあるとする.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\ell$の位置関係から$b$の範囲は,
$\fbox{ア}t^2 - \fbox{イ} < b < \fbox{ウ} t^3 - \fbox{エ}t$
となる.従って,$t$の範囲は,
$-\fbox{オ} < t < \fbox{カ}$
でなければならない.
$\displaystyle \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} |\fbox{キ|t^3 - \kakko{ク}t - b},$
$\displaystyle \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} |\fbox{ケ|t^2 - \kakko{コ} - b}$
だから,$\alpha = \beta$とすると,$b = (t+\fbox{サ})(t^2 - \fbox{シ})$である.
従って,$\displaystyle \alpha = \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} |(t-\fbox{ス|)(t^2-\kakko{セ})}$となり,
この値が,最大となるのは,$t=\frac{\fbox{ソ}-\sqrt{\fbox{タ}}}{\fbox{チ}}$のときで,そのときの値は \[ \alpha = \frac{\fbox{ツ}\fbox{テ}\sqrt{\fbox{ト}}+\fbox{ナ}\sqrt{\fbox{ニ}\fbox{ヌ}}}{\fbox{ネ}\fbox{ノ}} \] である.
座標平面上にある$2$点$\mathrm{P}(2t,\ 2t^3)$,$\mathrm{Q}(-4,\ 4t^2-8)$が,$-2 \leqq t \leqq 2$の範囲で動く.$\ell:y=x+b$とし,$\mathrm{P}$と$\ell$の距離を$\alpha$,$\mathrm{Q}$と$\ell$の距離を$\beta$とする.$\mathrm{P}$は,$\ell$より上側にあり,$\mathrm{Q}$は,$\ell$より下側にあるとする.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\ell$の位置関係から$b$の範囲は,
$\fbox{ア}t^2 - \fbox{イ} < b < \fbox{ウ} t^3 - \fbox{エ}t$
となる.従って,$t$の範囲は,
$-\fbox{オ} < t < \fbox{カ}$
でなければならない.
$\displaystyle \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} |\fbox{キ|t^3 - \kakko{ク}t - b},$
$\displaystyle \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} |\fbox{ケ|t^2 - \kakko{コ} - b}$
だから,$\alpha = \beta$とすると,$b = (t+\fbox{サ})(t^2 - \fbox{シ})$である.
従って,$\displaystyle \alpha = \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} |(t-\fbox{ス|)(t^2-\kakko{セ})}$となり,
この値が,最大となるのは,$t=\frac{\fbox{ソ}-\sqrt{\fbox{タ}}}{\fbox{チ}}$のときで,そのときの値は \[ \alpha = \frac{\fbox{ツ}\fbox{テ}\sqrt{\fbox{ト}}+\fbox{ナ}\sqrt{\fbox{ニ}\fbox{ヌ}}}{\fbox{ネ}\fbox{ノ}} \] である.
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