北九州市立大学
2016年 経済 第2問
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座標平面上の原点$\mathrm{O}$と$2$次関数$f(x)=-x^2+ax$を考える.ただし,$a$は正の定数である.以下の問題に答えよ.
(1) $y_1=-x^2+x$,$y_2=-x^2+2x$とする.$\displaystyle \frac{y_2}{y_1}>0$となる$x$の値の範囲を求めよ.また,次の式を満たす$x$の値を求めよ. \[ \log_2 \left( \frac{y_2}{y_1} \right)=2 \]
(2) 積分$\displaystyle \int_0^1 |f(x)| \, dx$の値を$a$を用いて表せ.また,この値が最小となるときの$a$の値を求めよ.
(3) $\displaystyle a=\frac{5}{4}$とする.関数$y=f(x)$のグラフで$x \geqq 0$を満たす部分を曲線$C$とする.曲線$C$上の$2$点を$\mathrm{P}(p,\ f(p))$,$\mathrm{Q}(p+1,\ f(p+1))$とし,点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$から$x$軸へ下ろした各々の垂線を$\mathrm{PP}^\prime$,$\mathrm{QQ}^\prime$とする.ただし,$p$は$\displaystyle 0<p<\frac{1}{4}$または$\displaystyle \frac{1}{4}<p<1$を満たす.点$\mathrm{P}$,$\mathrm{P}^\prime$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{Q}^\prime$を結ぶ図形が平行四辺形となるとき,$p$の値を求めよ.
(1) $y_1=-x^2+x$,$y_2=-x^2+2x$とする.$\displaystyle \frac{y_2}{y_1}>0$となる$x$の値の範囲を求めよ.また,次の式を満たす$x$の値を求めよ. \[ \log_2 \left( \frac{y_2}{y_1} \right)=2 \]
(2) 積分$\displaystyle \int_0^1 |f(x)| \, dx$の値を$a$を用いて表せ.また,この値が最小となるときの$a$の値を求めよ.
(3) $\displaystyle a=\frac{5}{4}$とする.関数$y=f(x)$のグラフで$x \geqq 0$を満たす部分を曲線$C$とする.曲線$C$上の$2$点を$\mathrm{P}(p,\ f(p))$,$\mathrm{Q}(p+1,\ f(p+1))$とし,点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$から$x$軸へ下ろした各々の垂線を$\mathrm{PP}^\prime$,$\mathrm{QQ}^\prime$とする.ただし,$p$は$\displaystyle 0<p<\frac{1}{4}$または$\displaystyle \frac{1}{4}<p<1$を満たす.点$\mathrm{P}$,$\mathrm{P}^\prime$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{Q}^\prime$を結ぶ図形が平行四辺形となるとき,$p$の値を求めよ.
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