東京医科歯科大学
2014年 医学部 第3問
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$a$を正の実数,$k$を自然数とし,$x>0$で定義される関数
\[ f(x)=\int_a^{ax} \frac{k+\sqrt[k]{u}}{ku} \, du \]
を考える.このとき以下の各問いに答えよ.
(1) $f(x)$の増減および凹凸を調べ,$y=f(x)$のグラフの概形をかけ.
(2) $y=f(x)$の$x=1$における接線の方程式を求めよ.
(3) $S$を正の実数とするとき,$f(p)=S$を満たす実数$p$がただ$1$つ存在することを示せ.
(4) $\displaystyle b=\frac{k}{k+\sqrt[k]{a}}$とおくとき,$(2)$の$S,\ p$について,次の不等式が成立することを示せ. \[ 1+bS<p<e^{bS} \]
(1) $f(x)$の増減および凹凸を調べ,$y=f(x)$のグラフの概形をかけ.
(2) $y=f(x)$の$x=1$における接線の方程式を求めよ.
(3) $S$を正の実数とするとき,$f(p)=S$を満たす実数$p$がただ$1$つ存在することを示せ.
(4) $\displaystyle b=\frac{k}{k+\sqrt[k]{a}}$とおくとき,$(2)$の$S,\ p$について,次の不等式が成立することを示せ. \[ 1+bS<p<e^{bS} \]
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