群馬大学
2015年 理工学部 第2問
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![数列{a_n},{b_n},{c_n},{d_n}は,初項がそれぞれa_1=a,b_1=b,c_1=c,d_1=dで与えられ,漸化式a_{n+1}=2a_n+b_n,b_{n+1}=a_n+2b_n,c_{n+1}=2c_n+d_n,d_{n+1}=c_n+2d_nを満たす.ただし,a,b,c,dはc/a<d/bを満たす正の数とする.(1)c/a<\frac{c+d}{a+b}<d/bが成り立つことを証明せよ.(2)すべての自然数nについて\frac{c_n}{a_n}<\frac{d_n}{b_n}が成り立つことを,数学的帰納法によって証明せよ.(3)a=2,b=1のとき,数列{a_n}の一般項を求めよ.](./thumb/104/2308/2015_2.png)
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数列$\{a_n\}$,$\{b_n\}$,$\{c_n\}$,$\{d_n\}$は,初項がそれぞれ$a_1=a$,$b_1=b$,$c_1=c$,$d_1=d$で与えられ,漸化式
\[ a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad b_{n+1}=a_n+2b_n,\quad c_{n+1}=2c_n+d_n,\quad d_{n+1}=c_n+2d_n \]
を満たす.ただし,$a,\ b,\ c,\ d$は$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{d}{b}$を満たす正の数とする.
(1) $\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{c+d}{a+b}<\frac{d}{b}$が成り立つことを証明せよ.
(2) すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}<\frac{d_n}{b_n}$が成り立つことを,数学的帰納法によって証明せよ.
(3) $a=2,\ b=1$のとき,数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(1) $\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{c+d}{a+b}<\frac{d}{b}$が成り立つことを証明せよ.
(2) すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}<\frac{d_n}{b_n}$が成り立つことを,数学的帰納法によって証明せよ.
(3) $a=2,\ b=1$のとき,数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
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