福島大学
2014年 人文A 第5問
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正の整数$n$を
\[ n=a_1+a_2+\cdots +a_k \]
のようにいくつかの正の整数の和として表す.このとき,正の整数の組$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$を$n$の分割とよぶ.ここで,$k=1$の場合,すなわち$n=a_1$として$(a_1)$も$n$の分割とみなす.
いま,$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$であって,積$a_1a_2 \cdots a_k$が最大となるものを$n$の最大分割と呼ぶことにし,その積の値を$P(n)$と書くことにする.
(1) $P(4)$を求めなさい.
(2) $n>1$とする.$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$で$a_1=1$のものは最大分割でないことを示しなさい.
(3) 最大分割に$2$が$3$回現れることはないことを示しなさい.
(4) 最大分割に$5$以上の正の整数は現れないことを示しなさい.
(5) $P(20)$を求めなさい.
いま,$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$であって,積$a_1a_2 \cdots a_k$が最大となるものを$n$の最大分割と呼ぶことにし,その積の値を$P(n)$と書くことにする.
(1) $P(4)$を求めなさい.
(2) $n>1$とする.$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$で$a_1=1$のものは最大分割でないことを示しなさい.
(3) 最大分割に$2$が$3$回現れることはないことを示しなさい.
(4) 最大分割に$5$以上の正の整数は現れないことを示しなさい.
(5) $P(20)$を求めなさい.
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