東京工業大学
2016年 理系 第2問
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$\triangle \mathrm{ABC}$を一辺の長さ$6$の正三角形とする.サイコロを$3$回振り,出た目を順に$X,\ Y,\ Z$とする.出た目に応じて,点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$をそれぞれ線分$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$,$\mathrm{AB}$上に
\[ \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\frac{X}{6} \overrightarrow{\mathrm{BC}},\quad \overrightarrow{\mathrm{CQ}}=\frac{Y}{6} \overrightarrow{\mathrm{CA}},\quad \overrightarrow{\mathrm{AR}}=\frac{Z}{6} \overrightarrow{\mathrm{AB}} \]
をみたすように取る.
(1) $\triangle \mathrm{PQR}$が正三角形になる確率を求めよ.
(2) 点$\mathrm{B}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$を互いに線分で結んでできる図形を$T_1$,点$\mathrm{C}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{P}$を互いに線分で結んでできる図形を$T_2$,点$\mathrm{A}$,$\mathrm{R}$,$\mathrm{Q}$を互いに線分で結んでできる図形を$T_3$とする.$T_1,\ T_2,\ T_3$のうち,ちょうど$2$つが正三角形になる確率を求めよ.
(3) $\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S$とし,$S$のとりうる値の最小値を$m$とする.$m$の値および$S=m$となる確率を求めよ.
(1) $\triangle \mathrm{PQR}$が正三角形になる確率を求めよ.
(2) 点$\mathrm{B}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$を互いに線分で結んでできる図形を$T_1$,点$\mathrm{C}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{P}$を互いに線分で結んでできる図形を$T_2$,点$\mathrm{A}$,$\mathrm{R}$,$\mathrm{Q}$を互いに線分で結んでできる図形を$T_3$とする.$T_1,\ T_2,\ T_3$のうち,ちょうど$2$つが正三角形になる確率を求めよ.
(3) $\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S$とし,$S$のとりうる値の最小値を$m$とする.$m$の値および$S=m$となる確率を求めよ.
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