兵庫県立大学
2014年 工学部 第5問
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![ベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを空間のベクトルとし,|ベクトルa|=2,|ベクトルb|=|ベクトルc|=1,ベクトルa・ベクトルb=0,ベクトルa・ベクトルc=0,ベクトルb・ベクトルc=-1/2とする.ベクトルOP=xベクトルa+yベクトルb+ベクトルcとおく.次の問いに答えよ.(1)点Oを通り,ベクトルベクトルa,ベクトルcに平行な平面αがある.点Pから平面αに垂線を下ろし,その足をHとする.ベクトルベクトルOHをx,y,ベクトルa,ベクトルb,ベクトルcのうち,必要なものを用いて表せ.(2)|ベクトルOP|=√3となるように点Pが動くとする.このとき,x,yから定まる点Q(x,y)の軌跡を求め,その概形をかけ.](./thumb/562/2720/2014_5.png)
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$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を空間のベクトルとし,$|\overrightarrow{a}|=2$,$|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0$,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=0$,$\displaystyle \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=-\frac{1}{2}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$とおく.次の問いに答えよ.
(1) 点$\mathrm{O}$を通り,ベクトル$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{c}$に平行な平面$\alpha$がある.点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし,その足を$\mathrm{H}$とする.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$x$,$y$,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$のうち,必要なものを用いて表せ.
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\sqrt{3}$となるように点$\mathrm{P}$が動くとする.このとき,$x,\ y$から定まる点$\mathrm{Q}(x,\ y)$の軌跡を求め,その概形をかけ.
(1) 点$\mathrm{O}$を通り,ベクトル$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{c}$に平行な平面$\alpha$がある.点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし,その足を$\mathrm{H}$とする.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$x$,$y$,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$のうち,必要なものを用いて表せ.
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\sqrt{3}$となるように点$\mathrm{P}$が動くとする.このとき,$x,\ y$から定まる点$\mathrm{Q}(x,\ y)$の軌跡を求め,その概形をかけ.
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