北海道大学
2011年 文系 第4問
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![nを2以上の自然数,qとrを自然数とする.1からnqまでの番号がついたnq個の白玉,1からnrまでの番号がついたnr個の赤玉を用意する.これら白玉と赤玉を,1番からn番まで番号づけられたn個の箱それぞれに,小さい番号から順に白玉はq個ずつ,赤玉はr個ずつ配分しておく.たとえば,1番目の箱には番号1からqの白玉と番号1からrまでの赤玉が入っている.これらn(q+r)個の玉をn個の箱に以下のように再配分する.1番の箱から1個の玉を取り出して2番の箱に移し,次に2番の箱から1個の玉を取り出して3番の箱に移す.同様の操作を順次繰り返し最後にn番の箱に1個の玉を移して終了する.このようにして実現され得る再配分の総数をs_nとし,n番の箱の白玉がq+1個であるような再配分の総数をa_nとする.(1)s_2を求めよ.(2)s_3とa_3を求めよ.(3)s_4とa_4を求めよ.](./thumb/5/790/2011_4.png)
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$n$を$2$以上の自然数,$q$と$r$を自然数とする.$1$から$nq$までの番号がついた$nq$個の白玉,$1$から$nr$までの番号がついた$nr$個の赤玉を用意する.これら白玉と赤玉を,$1$番から$n$番まで番号づけられた$n$個の箱それぞれに,小さい番号から順に白玉は$q$個ずつ,赤玉は$r$個ずつ配分しておく.たとえば,$1$番目の箱には番号$1$から$q$の白玉と番号$1$から$r$までの赤玉が入っている.これら$n(q+r)$個の玉を$n$個の箱に以下のように再配分する.$1$番の箱から$1$個の玉を取り出して$2$番の箱に移し,次に$2$番の箱から$1$個の玉を取り出して$3$番の箱に移す.同様の操作を順次繰り返し最後に$n$番の箱に$1$個の玉を移して終了する.このようにして実現され得る再配分の総数を$s_n$とし,$n$番の箱の白玉が$q+1$個であるような再配分の総数を$a_n$とする.
(1) $s_2$を求めよ.
(2) $s_3$と$a_3$を求めよ.
(3) $s_4$と$a_4$を求めよ.
(1) $s_2$を求めよ.
(2) $s_3$と$a_3$を求めよ.
(3) $s_4$と$a_4$を求めよ.
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