和歌山県立医科大学
2013年 医学部 第4問
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$2$次の正方行列について，以下の問いに答えよ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．
(1) 行列$S=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & d \end{array} \right),\ T=\left( \begin{array}{cc} e & f \\ g & h \end{array} \right)$が，$TS=E$を満たすならば，$ST=E$となることを示せ．
(2) 行列$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$（ただし，$a \neq 0$）に対して，行列$B$は$BA=E$を満たすとする．さらに，$\displaystyle P=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -\displaystyle\frac{c}{a} & 1 \end{array} \right),\ Q=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ \displaystyle\frac{c}{a} & 1 \end{array} \right)$を考えて，$M=PA,\ N=BQ$とおく．
(ⅰ) $NM=E$を示せ．
(ⅱ) $MN=E$を示し，$AB=E$となることを示せ．
(1) 行列$S=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & d \end{array} \right),\ T=\left( \begin{array}{cc} e & f \\ g & h \end{array} \right)$が，$TS=E$を満たすならば，$ST=E$となることを示せ．
(2) 行列$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$（ただし，$a \neq 0$）に対して，行列$B$は$BA=E$を満たすとする．さらに，$\displaystyle P=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -\displaystyle\frac{c}{a} & 1 \end{array} \right),\ Q=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ \displaystyle\frac{c}{a} & 1 \end{array} \right)$を考えて，$M=PA,\ N=BQ$とおく．
(ⅰ) $NM=E$を示せ．
(ⅱ) $MN=E$を示し，$AB=E$となることを示せ．
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